O que é fatorial
O fatorial de um número natural n, representado por n! (lê-se "n fatorial"), é a multiplicação de todos os números inteiros de n até 1. Ele aparece o tempo todo em análise combinatória, porque n! é a quantidade de maneiras de colocar n objetos diferentes em fila.
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 2 × 1 · 0! = 1
Tabela de fatoriais
| n | n! | n | n! |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 6 | 720 |
| 1 | 1 | 7 | 5.040 |
| 2 | 2 | 8 | 40.320 |
| 3 | 6 | 9 | 362.880 |
| 4 | 24 | 10 | 3.628.800 |
| 5 | 120 | 12 | 479.001.600 |
O fatorial cresce muito rápido: 20! já passa de 2 quintilhões e 70! tem mais de 100 algarismos. A calculadora usa aritmética de inteiros exata, então mostra todos os algarismos certos, sem o arredondamento das calculadoras comuns.
Exemplo: quantas filas com 6 pessoas?
Para o primeiro lugar há 6 opções, para o segundo sobram 5, depois 4, e assim por diante: 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 filas diferentes. É a permutação simples P(6) = 6!.
Propriedade principal e divisão de fatoriais
n! = n × (n − 1)!
Ela permite simplificar frações com fatoriais sem calcular números enormes. Em 10! ÷ 8!, escreva 10! = 10 × 9 × 8! e corte o 8!: sobra 10 × 9 = 90. Do mesmo jeito, 100! ÷ 98! = 100 × 99 = 9.900. Essas simplificações aparecem em todas as fórmulas de arranjo e combinação, que você pode resolver direto nacalculadora de análise combinatória.
Quantos zeros tem o final de n!
Cada zero no final vem de um fator 10 = 2 × 5. Como entre 1 e n há muito mais números pares do que múltiplos de 5, basta contar quantos fatores 5 existem (fórmula de Legendre):
zeros = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …
Para 100!: ⌊100/5⌋ + ⌊100/25⌋ = 20 + 4 = 24 zeros. O 25, o 50, o 75 e o 100 contam duas vezes porque cada um tem dois fatores 5.
O fatorial só é definido para inteiros maiores ou iguais a zero. Para números muito grandes, o resultado é mostrado em notação científica (veja a calculadora de notação científica).