Qual a diferença entre arranjo e combinação?

No arranjo a ordem importa (pódio, senha, presidente e vice); na combinação, não (comissão, salada de frutas, jogo da Mega-Sena). Por isso C(n, p) = A(n, p) ÷ p!.

Como calcular o número de anagramas de uma palavra?

Divida o fatorial do número de letras pelo fatorial da quantidade de cada letra repetida. BANANA tem 6 letras, com A três vezes e N duas: 6! ÷ (3! × 2!) = 60 anagramas.

Quantos jogos diferentes existem na Mega-Sena?

São C(60, 6) = 50.063.860 combinações de 6 números entre 60. A ordem dos números não importa, por isso é combinação.

O que é permutação circular?

É a quantidade de formas de dispor n elementos em volta de uma mesa ou roda, onde girar todos não muda a disposição. A fórmula é (n − 1)!. Cinco pessoas em uma mesa redonda: 4! = 24 formas.

Calculadora de Análise Combinatória

Calcule arranjo, combinação e permutação (simples, com repetição e circular) e o número de anagramas de uma palavra, com a fórmula aplicada.

Como saber qual fórmula usar

Análise combinatória conta de quantas maneiras é possível formar grupos. É assunto certo no ensino médio, no ENEM e em concursos, e quase toda questão se resolve com duas perguntas:

Uso todos os elementos ou só alguns? Todos → permutação. Só alguns → arranjo ou combinação.
A ordem muda o resultado? Sim → arranjo. Não → combinação.

Um bom teste: troque dois elementos de lugar. Se virou outra coisa (outra senha, outro pódio), a ordem importa. Se continua sendo a mesma coisa (a mesma comissão, o mesmo jogo da loteria), não importa.

Fórmulas

Tipo	Fórmula	Exemplo
Permutação simples	P(n) = n!	Filas com 5 pessoas: 5! = 120
Arranjo simples	A(n, p) = n! ÷ (n − p)!	Pódio com 10 corredores: 10 × 9 × 8 = 720
Combinação simples	C(n, p) = n! ÷ [p! (n − p)!]	Comissão de 3 entre 10: 720 ÷ 3! = 120
Permutação com repetição	n! ÷ (a! b! …)	Anagramas de ARARA: 5! ÷ (3! 2!) = 10
Permutação circular	PC(n) = (n − 1)!	5 pessoas em mesa redonda: 4! = 24
Arranjo com repetição	AR(n, p) = n^p	Senhas de 4 dígitos: 10⁴ = 10.000
Combinação com repetição	CR(n, p) = C(n + p − 1, p)	3 bolas de sorvete com 4 sabores: C(6, 3) = 20

Lembre: n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1, e por definição 0! = 1.

Exemplos resolvidos

Anagramas de MATEMÁTICA

São 10 letras (o acento não conta): M aparece 2 vezes, A 3 vezes e T 2 vezes. Anagramas = 10! ÷ (2! × 3! × 2!) = 3.628.800 ÷ 24 = 151.200.

Mega-Sena e Lotofácil

Na Mega-Sena escolhem-se 6 números entre 60 e a ordem não importa: C(60, 6) = 50.063.860 jogos possíveis. Na Lotofácil, 15 entre 25: C(25, 15) = 3.268.760. Para gerar palpites aleatórios, use osorteador de números.

Placas de carro no padrão Mercosul

O formato brasileiro LLLNLNN tem 4 letras (26 opções cada) e 3 algarismos (10 opções cada), com repetição: 26⁴ × 10³ = 456.976 × 1.000 = 456.976.000 combinações. É o princípio multiplicativo: multiplique as possibilidades de cada posição.

Princípio fundamental da contagem

Se uma escolha pode ser feita de m maneiras e outra, independente, de k maneiras, as duas juntas podem ser feitas de m × k maneiras. Todas as fórmulas acima derivam desse princípio. Exemplo: 3 camisetas e 4 bermudas formam 3 × 4 = 12 looks diferentes.

Resultados com mais de 30 algarismos são mostrados em notação científica (≈ mantissa × 10^expoente), mas o cálculo é feito com inteiros exatos.