O que é permutação
Permutar é trocar de lugar. A permutação conta de quantas ordens diferentes um conjunto de elementos pode ser organizado: pessoas numa fila, livros numa prateleira, letras de uma palavra, músicas de uma playlist no modo aleatório. Diferente da combinação, aqui a ordem é o que interessa: Ana, Bia, Caio é uma fila diferente de Caio, Bia, Ana.
Permutação simples
P(n) = n! = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 1
A ideia vem do princípio multiplicativo: o primeiro lugar da fila pode ser ocupado por qualquer um dos n elementos; o segundo, por um dos n − 1 que sobraram; e assim por diante. Com 5 pessoas: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 filas.
O crescimento é muito rápido. Uma playlist de 10 músicas tem 3.628.800 ordens possíveis; com 20 músicas já são mais de 2,4 quintilhões. Por isso a calculadora lista as ordens só para até 12 elementos e mostra o total exato para listas maiores.
Permutação de n elementos tomados p a p (nPr)
Quando só algumas posições são preenchidas, por exemplo os 3 primeiros lugares de uma corrida com 10 atletas, a conta para depois de p fatores:
nPr = n! ÷ (n − p)!
Exemplo: 10P3 = 10 × 9 × 8 = 720 pódios possíveis. Nas calculadoras científicas essa é a teclanPr; nos livros didáticos brasileiros e no ENEM, a mesma conta aparece com o nome dearranjo simples, A(n, p). São dois nomes para o mesmo número.
Permutação com elementos repetidos
Se alguns elementos são iguais, trocá-los entre si não gera uma ordem nova, e o total cai:
P = n! ÷ (a! × b! × …)
Exemplo: um varal com 2 camisas azuis e 2 brancas. Se fossem 4 peças diferentes, seriam 4! = 24 ordens, mas cada sequência de cores aparece 2! × 2! = 4 vezes. Logo, 24 ÷ 4 = 6 sequências: AABB, ABAB, ABBA, BAAB, BABA e BBAA. No modo "Listar" você pode digitar A; A; B; B e conferir as seis.
Permutação circular
PC(n) = (n − 1)!
Em volta de uma mesa redonda, o que define a disposição é quem está ao lado de quem. Com 5 pessoas, cada arrumação aparece 5 vezes entre as 120 filas (uma para cada rotação), então são 120 ÷ 5 = 24 disposições. Se, além de girar, também for possível virar o objeto (contas de um colar), cada disposição conta em dobro e o resultado é (n − 1)! ÷ 2.
Como escolher a fórmula
| Situação | Fórmula | Exemplo |
|---|---|---|
| Ordenar todos, todos diferentes | n! | 4 livros na estante: 24 |
| Ordenar só p de n | n! ÷ (n − p)! | Presidente e vice entre 8: 56 |
| Ordenar todos, com iguais | n! ÷ (a! b! …) | Anagramas de OVO: 3 |
| Ordenar em roda | (n − 1)! | 6 amigos numa mesa redonda: 120 |
| Escolher sem ordem | combinação | Dupla entre 8 pessoas: 28 |
Se a ordem não importa, a conta certa é a da calculadora de combinação. Para anagramas de palavras e combinação com repetição, use acalculadora de análise combinatória, e para ver todos os algarismos de um fatorial grande, a calculadora de fatorial.