Qual é a fórmula da combinação?

C(n, p) = n! ÷ [p! × (n − p)!], em que n é o total de elementos e p quantos são escolhidos. Exemplo: C(5, 3) = 120 ÷ (6 × 2) = 10.

Quando usar combinação e não arranjo?

Use combinação quando trocar a ordem dos escolhidos não muda o grupo: comissões, times, sabores de pizza, jogos de loteria. Se a ordem muda o resultado (pódio, senha, cargos), é arranjo.

Por que C(10, 8) é igual a C(10, 2)?

Escolher os 8 que ficam é o mesmo que escolher os 2 que saem. Por isso C(n, p) = C(n, n − p), e a conta fica mais curta: C(10, 2) = (10 × 9) ÷ 2 = 45.

O que é combinação com repetição?

É quando o mesmo elemento pode ser escolhido mais de uma vez, como comprar 4 pastéis entre 3 sabores. A fórmula é CR(n, p) = C(n + p − 1, p); no exemplo, C(6, 4) = 15.

Quantas combinações tem uma aposta de 7 números na Mega-Sena?

Uma aposta com 7 dezenas contém C(7, 6) = 7 jogos de 6 números, por isso custa 7 vezes a aposta simples. O total de jogos possíveis da Mega-Sena é C(60, 6) = 50.063.860.

Calculadora de Combinação

Calcule a combinação C(n, p), simples ou com repetição, com a fórmula simplificada passo a passo, e liste todos os grupos possíveis dos seus elementos.

O que é combinação

Combinação é a contagem de quantos grupos diferentes podem ser formados escolhendo p elementos de um total de n, quando a ordem dentro do grupo não faz diferença. Uma salada com morango, banana e uva é a mesma salada com uva, morango e banana; um jogo da Mega-Sena com 04, 15, 23, 37, 41 e 58 é o mesmo jogo em qualquer ordem em que as dezenas forem marcadas. É nesse tipo de situação que se usa a combinação simples, escrita C(n, p) ou C_n,p.

Fórmula da combinação simples

C(n, p) = n! ÷ [p! × (n − p)!]

n: quantidade de elementos disponíveis
p: quantos entram em cada grupo (p ≤ n)
!: fatorial, o produto de 1 até o número (5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120)

Na prática ninguém calcula os fatoriais inteiros. Corte o maior fatorial do denominador com o numerador e use o menor entre p e n − p, porque C(n, p) = C(n, n − p):

C(n, p) = [n × (n − 1) × … (p fatores)] ÷ p!

Exemplo: saladas de frutas com 3 de 5 frutas

Há morango, banana, uva, manga e kiwi, e cada salada leva 3 frutas diferentes. Quantas saladas distintas existem?

C(5, 3) = (5 × 4 × 3) ÷ (3 × 2 × 1) = 60 ÷ 6 = 10

As 10 saladas são exatamente as que a calculadora lista no modo "Listar todas as combinações". Se a ordem importasse (por exemplo, a primeira fruta vai no fundo do copo), seriam 60 arranjos: cada grupo de 3 frutas pode ser montado de 3! = 6 jeitos, e 10 × 6 = 60. É essa divisão por p! que diferencia combinação de arranjo.

Combinação nas loterias da Caixa

Situação	Conta	Resultado
Jogos possíveis da Mega-Sena (6 de 60)	C(60, 6)	50.063.860
Jogos de 6 dentro de uma aposta de 7 dezenas	C(7, 6)	7
Jogos de 6 dentro de uma aposta de 10 dezenas	C(10, 6)	210
Jogos possíveis da Lotofácil (15 de 25)	C(25, 15)	3.268.760

A aposta com mais dezenas custa mais porque contém vários jogos simples ao mesmo tempo. A chance de acerto de cada modalidade, com quadra e quina, está na calculadora de probabilidade da Mega-Sena.

Combinação com repetição

Quando o mesmo elemento pode entrar mais de uma vez no grupo, a fórmula muda. Pense em uma pastelaria com 3 sabores (carne, queijo e frango) em que você leva 4 pastéis: dá para levar 4 de carne, 2 de queijo e 2 de frango, e assim por diante.

CR(n, p) = C(n + p − 1, p)

No exemplo: CR(3, 4) = C(6, 4) = C(6, 2) = (6 × 5) ÷ 2 = 15 pedidos diferentes.

Propriedades úteis

C(n, 0) = C(n, n) = 1: só existe um jeito de não escolher ninguém ou de escolher todos.
C(n, 1) = n: cada elemento sozinho forma um grupo.
C(n, p) = C(n − 1, p − 1) + C(n − 1, p) (relação de Stifel): é a regra que monta o triângulo de Pascal, em que cada número é a soma dos dois acima dele.
A soma C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n) = 2ⁿ: é o total de subconjuntos de um conjunto com n elementos.

Outras contagens

Se a pergunta for de quantas maneiras dá para ordenar os elementos, use acalculadora de permutação. Para arranjos, permutação circular e anagramas, todos em um só lugar, veja a calculadora de análise combinatória. Fatoriais grandes, com todos os algarismos, ficam na calculadora de fatorial.