Setor circular e arco
O setor circular é a "fatia" do círculo limitada por dois raios e pelo arco entre eles, como um pedaço de pizza ou de bolo. O arco é a parte curva da borda. Os dois são uma fração do círculo inteiro, a mesma fração que o ângulo central representa de 360°. Por isso tudo se resolve com uma regra de três.
Fórmulas
| Medida | Ângulo em graus (α) | Ângulo em radianos (θ) |
|---|---|---|
| Comprimento do arco | L = 2πr × α ÷ 360 | L = r × θ |
| Área do setor | A = πr² × α ÷ 360 | A = θ × r² ÷ 2 = L × r ÷ 2 |
| Perímetro do setor | P = 2r + L | |
| Corda | c = 2r × sen(θ ÷ 2) | |
| Área do segmento circular | r² × (θ − sen θ) ÷ 2 | |
| Flecha (altura do segmento) | h = r × (1 − cos(θ ÷ 2)) | |
L = r × θ · A = θ × r² ÷ 2 (θ em radianos)
Para passar de graus a radianos, multiplique por π ÷ 180. É essa conversão que deixa as fórmulas em radianos tão curtas: um radiano é justamente o ângulo cujo arco tem o mesmo comprimento do raio.
Exemplo: raio de 10 cm e ângulo de 60°
- θ = 60 × π ÷ 180 = π ÷ 3 ≈ 1,0472 rad (1/6 do círculo)
- Arco = 10 × 1,0472 ≈ 10,472 cm
- Área do setor = 1,0472 × 100 ÷ 2 ≈ 52,3599 cm²
- Perímetro do setor = 20 + 10,472 = 30,472 cm
- Corda = 2 × 10 × sen 30° = 10 cm (com 60°, o triângulo do centro é equilátero)
- Segmento = 100 × (1,0472 − 0,8660) ÷ 2 ≈ 9,0586 cm²; flecha ≈ 1,3397 cm
Exemplo do dia a dia: uma fatia de pizza
Uma pizza grande de 35 cm de diâmetro cortada em 8 fatias tem raio 17,5 cm e ângulo de 360° ÷ 8 = 45° por fatia. Cada fatia tem área π × 17,5² × 45 ÷ 360 ≈ 120,26 cm² e borda de cerca de13,74 cm. Cortada em 12, cada fatia cai para cerca de 80 cm².
Onde mais se usa
- Gráfico de pizza: o ângulo de cada fatia é a porcentagem × 3,6. Uma fatia de 25% tem 90°.
- Obras e marcenaria: comprimento de rodapé ou guarda-corpo em parede curva, área de um canteiro em leque ou de uma janela em arco. A corda e a flecha são a largura e a altura do vão.
- Distâncias na Terra: o arco de 1° de latitude, com raio terrestre de cerca de 6.371 km, mede aproximadamente 111 km.
Para o círculo inteiro (área, raio, diâmetro e circunferência), use acalculadora do círculo. Para um anel entre dois círculos, veja acalculadora de coroa circular.