O que é regressão linear simples
A regressão linear encontra a reta que melhor descreve como uma variável Y (resposta) muda conforme outra variável X (explicativa). Com ela dá para estimar, por exemplo, quanto a conta de luz sobe a cada grau a mais de temperatura, ou que nota esperar para certo número de horas de estudo. "Simples" porque há uma única variável X.
Fórmulas (mínimos quadrados)
ŷ = a + b·x
b = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ Σ(x − x̄)² · a = ȳ − b·x̄
- b: coeficiente angular, a variação média de Y para cada unidade a mais de X
- a: coeficiente linear, o valor de ŷ quando x = 0
- ŷ: valor previsto pela reta; a diferença y − ŷ é o resíduo
O método dos mínimos quadrados escolhe a e b que tornam a soma dos quadrados dos resíduos a menor possível.
Exemplo passo a passo
Horas de estudo (X) = 1; 2; 3; 4; 5 e nota (Y) = 2; 4; 5; 4; 5.
- Médias: x̄ = 3 e ȳ = 4
- Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 6 e Σ(x − x̄)² = 10
- b = 6 ÷ 10 = 0,6
- a = 4 − 0,6 × 3 = 2,2
- Reta: ŷ = 2,2 + 0,6x. Cada hora a mais de estudo está associada, em média, a 0,6 ponto a mais na nota.
| x | y | ŷ | resíduo |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2,8 | −0,8 |
| 2 | 4 | 3,4 | 0,6 |
| 3 | 5 | 4,0 | 1,0 |
| 4 | 4 | 4,6 | −0,6 |
| 5 | 5 | 5,2 | −0,2 |
Soma dos quadrados dos resíduos: 0,64 + 0,36 + 1 + 0,36 + 0,04 = 2,4. Como a variação total de Y é 6, R² = 1 − 2,4 ÷ 6 = 0,60. A previsão para 6 horas seria 2,2 + 0,6 × 6 = 5,8, mas 6 está fora dos dados, então é uma extrapolação.
Como avaliar a reta
- R²: de 0 a 1; quanto maior, mais a reta explica a variação de Y.
- Erro padrão da estimativa: o tamanho típico dos resíduos, na unidade de Y.
- Valor-p do coeficiente angular: testa se b é diferente de zero. Abaixo de 0,05, a relação costuma ser considerada significativa. No exemplo, p ≈ 0,124 (só 5 pontos).
- Resíduos: devem se espalhar sem padrão em torno de zero. Uma curva nos resíduos indica que a relação não é linear.
Regressão linear e reta por dois pontos
Se você tem só dois pontos exatos e quer a reta que passa por eles, use acalculadora de coeficiente angular. A regressão serve quando há vários pontos que não ficam perfeitamente alinhados. Para medir apenas a força da relação, sem a equação, veja acalculadora de correlação.