O que é raiz enésima?

É a raiz de índice n: o número que, elevado a n, resulta no radicando. A raiz quinta de 32 é 2, porque 2⁵ = 32. Raiz quadrada (n = 2) e cúbica (n = 3) são casos particulares.

Como transformar raiz em potência?

A raiz de índice n de x é igual a x elevado a 1/n. Assim, ⁴√81 = 81^(1/4) = 3. Com expoente no radicando, ⁿ√(xᵐ) = x^(m/n).

Existe raiz de índice par de número negativo?

Não nos números reais, porque qualquer número real elevado a expoente par é positivo ou zero. Nos complexos existem n raízes; as raízes quartas de −16, por exemplo, são √2 ± √2·i e −√2 ± √2·i.

Quantas raízes enésimas um número tem?

Todo número diferente de zero tem exatamente n raízes de índice n nos números complexos, igualmente espaçadas num círculo. Entre elas, há 1 real se n é ímpar, 2 reais (±) se n é par e o número é positivo, e nenhuma real se n é par e o número é negativo.

Calculadora de Raiz Enésima

Calcule a raiz de índice n de qualquer número, simplifique o radical e veja as n raízes complexas pela fórmula de De Moivre, com passo a passo.

O que é a raiz enésima

A raiz enésima de um número x é o valor que, multiplicado por ele mesmo n vezes, resulta em x. O número n é o índice e x é o radicando. A raiz quadrada (n = 2) e a raiz cúbica (n = 3) são só os casos mais conhecidos: esta calculadora aceita qualquer índice inteiro de 2 a 100.

ⁿ√x = y ⇔ yⁿ = x · ⁿ√x = x^1/n

Propriedades dos radicais

Propriedade	Exemplo
ⁿ√(a × b) = ⁿ√a × ⁿ√b	⁴√(16 × 5) = 2 × ⁴√5
ⁿ√(a ÷ b) = ⁿ√a ÷ ⁿ√b	⁵√(32 ÷ 243) = 2 ÷ 3
ⁿ√(aᵐ) = a^m/n	⁶√(5⁴) = 5^4/6 = 5^2/3 = ∛25
ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a	√(∛64) = ⁶√64 = 2

Como calcular à mão

Pela fatoração (raízes exatas e simplificação)

Fatore o radicando em primos e forme grupos de n fatores iguais. Cada grupo sai da raiz como um único fator; o que não completa um grupo fica dentro. Exemplo com índice 4: 162 = 2 × 3⁴, então ⁴√162 = 3⁴√2≈ 3 × 1,189207 ≈ 3,567621. Já 1.000.000 = 10⁶, logo ⁶√1.000.000 = 10, exata.

Por logaritmo (raízes não exatas)

log ⁿ√x = (log x) ÷ n

Para ⁷√100: log 100 = 2, e 2 ÷ 7 ≈ 0,285714. Então ⁷√100 = 10^0,285714 ≈ 1,930698. Era assim que se fazia com tábuas de logaritmos, antes das calculadoras. Veja acalculadora de logaritmo.

Sinal: índice par e índice ímpar

Índice ímpar: sempre existe uma raiz real, com o mesmo sinal do radicando. ⁵√−243 = −3.
Índice par, radicando positivo: a equação yⁿ = x tem duas soluções reais (±), mas o símbolo ⁿ√x indica só a positiva. ⁴√81 = 3, embora (−3)⁴ também dê 81.
Índice par, radicando negativo: não há raiz real. ⁴√−16 não existe nos reais.

As n raízes complexas (fórmula de De Moivre)

Nos números complexos, estudados no 3º ano do ensino médio, todo número diferente de zero tem exatamente n raízes de índice n. Todas têm o mesmo módulo, ⁿ√|x|, e ficam igualmente espaçadas em um círculo, separadas por 360° ÷ n:

zₖ = ⁿ√|x| × [cos((θ + 360°·k) ÷ n) + i·sen((θ + 360°·k) ÷ n)], k = 0, 1, …, n − 1

Para x positivo, θ = 0°; para x negativo, θ = 180°. Exemplos:

Raízes quartas de 16: ângulos 0°, 90°, 180° e 270°, ou seja, 2, 2i, −2 e −2i.
Raízes cúbicas de −8: ângulos 60°, 180° e 300°, ou seja, 1 + 1,732051i, −2 e 1 − 1,732051i.

Escolha “Mostrar as n raízes complexas” na calculadora para obter a tabela completa.

Para raízes quadradas, com a lista de quadrados perfeitos, use acalculadora de raiz quadrada; para cubos, acalculadora de raiz cúbica, que mostra o método de Newton. Para a operação inversa, elevar a um expoente, use a calculadora de potência.