O que é fatoração em números primos
Fatorar um número é escrevê-lo como uma multiplicação de números primos. O Teorema Fundamental da Aritmética garante que todo inteiro maior que 1 tem uma única fatoração em primos (sem contar a ordem dos fatores). Por isso ela funciona como a “impressão digital” do número.
360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5
Lembrando: número primo é o inteiro maior que 1 que só é divisível por 1 e por ele mesmo. Os primeiros são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47… O 2 é o único primo par.
Método das divisões sucessivas (dispositivo prático)
É o método ensinado no 6º ano: traça-se uma barra vertical, escreve-se o número à esquerda e, à direita, o menor primo que o divide. O quociente vai para a linha de baixo, e repete-se até chegar a 1.
| Número | Fator primo |
|---|---|
| 360 | 2 |
| 180 | 2 |
| 90 | 2 |
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
A coluna da direita, multiplicada, dá a fatoração: 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5. A calculadora monta essa mesma tabela para o número que você digitar.
Critérios de divisibilidade que ajudam
- Por 2: o número é par (termina em 0, 2, 4, 6 ou 8).
- Por 3: a soma dos algarismos é divisível por 3 (360 → 3 + 6 + 0 = 9).
- Por 5: termina em 0 ou 5.
- Por 7: tire o último algarismo, subtraia o dobro dele do que sobrou; se o resultado for múltiplo de 7, o número também é (91 → 9 − 2 = 7).
- Por 11: a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é múltipla de 11 (121 → 1 − 2 + 1 = 0).
Como saber se um número é primo
Não é preciso testar todos os números menores: basta testar os primos até a raiz quadrada do número. Se um número n tivesse um divisor maior que √n, teria também um par menor que √n, que já teria sido encontrado. Para 97, testa-se 2, 3, 5 e 7 (√97 ≈ 9,8); nenhum divide, então 97 é primo. A calculadora usa essa regra e fatora números de até um trilhão em instantes.
Para que serve
- MMC e MDC: o MDC usa os primos comuns com o menor expoente; o MMC, todos os primos com o maior expoente. Veja na calculadora de MMC e MDC.
- Quantidade de divisores: some 1 a cada expoente e multiplique. 360 = 2³ × 3² × 5¹ tem (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 24 divisores. Liste todos na calculadora de divisores.
- Raízes: um número é quadrado perfeito quando todos os expoentes são pares (144 = 2⁴ × 3², √144 = 2² × 3 = 12). Fatores que sobram ficam dentro do radical: √72 = √(2³ × 3²) = 6√2, como mostra a calculadora de raiz quadrada.
- Simplificar frações: fatorando numerador e denominador, cortam-se os primos em comum.