Como encontrar todos os divisores de um número?

Teste a divisão por 1, 2, 3… até a raiz quadrada do número. Cada divisão exata dá dois divisores: o divisor e o quociente. Para 60: 1 e 60, 2 e 30, 3 e 20, 4 e 15, 5 e 12, 6 e 10. Logo D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}.

Como saber quantos divisores um número tem sem listar?

Fatore o número em primos, some 1 a cada expoente e multiplique os resultados. Como 60 = 2² × 3 × 5, ele tem (2 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 12 divisores.

Qual a diferença entre divisor e múltiplo?

Divisor é o número que divide outro sem deixar resto; múltiplo é o resultado de multiplicar um número por um inteiro. 4 é divisor de 12, e 12 é múltiplo de 4. Um número tem uma quantidade finita de divisores e infinitos múltiplos.

O que é um número perfeito?

É o número igual à soma dos seus divisores próprios (todos menos ele mesmo). 6 = 1 + 2 + 3 e 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 são perfeitos. Se a soma passa do número ele é abundante (12); se fica abaixo, deficiente (8).

Calculadora de Divisores de um Número

Liste todos os divisores de um número, veja quantos são pela fatoração, o dispositivo prático, os pares de divisores e se ele é primo ou perfeito.

O que são os divisores de um número

Um número d é divisor de n quando a divisão n ÷ d é exata, sem resto. O conjunto dos divisores positivos de n é indicado por D(n). Exemplo:

D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

Todo número é divisível por 1 e por ele mesmo. Quem tem só esses dois divisores é primo (D(13) = {1, 13}); quem tem mais é composto. O 1 tem um único divisor e não é primo nem composto.

Método 1: testar até a raiz quadrada

Divida o número por 1, 2, 3, 4… parando na raiz quadrada. Cada divisão exata entrega um par de divisores: o divisor testado e o quociente.

Divisor testado	60 ÷ divisor	Par de divisores
1	60	1 × 60
2	30	2 × 30
3	20	3 × 20
4	15	4 × 15
5	12	5 × 12
6	10	6 × 10
7	8,57…	não é divisor (√60 ≈ 7,7: pode parar)

Em um quadrado perfeito um dos pares se repete (6 × 6 em 36), e por isso os quadrados perfeitos são os únicos números com quantidade ímpar de divisores.

Método 2: dispositivo prático pela fatoração

É o método dos livros didáticos do 6º e 7º ano. Primeiro fatore o número pelas divisões sucessivas. Depois, escreva o 1 acima da coluna dos fatores e, linha a linha, multiplique o fator primo por todos os divisores já anotados, registrando apenas os resultados novos:

Número	Fator primo	Divisores novos
		1
60	2	2
30	2	4
15	3	3, 6, 12
5	5	5, 10, 15, 20, 30, 60
1

A última coluna, de cima para baixo, contém todos os 12 divisores de 60. A calculadora monta essa tabela para qualquer número.

Quantos divisores um número tem

Fatore o número, some 1 a cada expoente e multiplique:

n = pᵃ × qᵇ × rᶜ → quantidade de divisores = (a + 1) × (b + 1) × (c + 1)

Como 60 = 2² × 3¹ × 5¹, são (2 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 12 divisores. A lógica é que cada divisor escolhe quantas vezes usa cada primo: o 2 pode aparecer 0, 1 ou 2 vezes (3 opções), o 3 e o 5, 0 ou 1 vez (2 opções cada). Para ver a fatoração detalhada, use a calculadora de fatoração.

Números perfeitos, abundantes e deficientes

Somando os divisores próprios (todos, exceto o próprio número), os números se classificam em:

Perfeito: a soma é igual ao número. 6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Os próximos são 496 e 8.128.
Abundante: a soma passa do número. 12 → 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16.
Deficiente: a soma fica abaixo. 8 → 1 + 2 + 4 = 7. Todo primo é deficiente.

Divisores comuns, MDC e MMC

Os divisores que dois números têm em comum são exatamente os divisores do seu MDC: D(12) ∩ D(18) = {1, 2, 3, 6} = D(6). Calcule o maior deles na calculadora de MDC e o menor múltiplo comum nacalculadora de MMC.