Como calcular o determinante de uma matriz 2×2?

Multiplique os elementos da diagonal principal e subtraia o produto da diagonal secundária: det = a·d − b·c. Para a matriz com linhas (3, 1) e (4, 2): 3·2 − 1·4 = 2.

Como funciona a regra de Sarrus?

Vale só para matrizes 3×3. Repita as duas primeiras colunas à direita, some os produtos das três diagonais que descem para a direita e subtraia a soma dos produtos das três diagonais que sobem.

Como calcular o determinante de uma matriz 4×4?

A regra de Sarrus não serve. Use o teorema de Laplace (expansão por cofatores), a regra de Chió ou o escalonamento: zere tudo abaixo da diagonal e multiplique os elementos da diagonal, trocando o sinal a cada troca de linhas.

Quando o determinante é zero?

Quando uma linha (ou coluna) é toda de zeros, quando duas linhas são iguais ou proporcionais, ou quando uma linha é combinação das outras. Matriz com determinante zero não tem inversa.

Para que serve o determinante?

Indica se a matriz tem inversa (det ≠ 0), resolve sistemas lineares pela regra de Cramer e, em geometria analítica, calcula a área de triângulos a partir das coordenadas dos vértices.

Calculadora de Determinante de Matriz

Calcule o determinante de matrizes 2×2, 3×3 (regra de Sarrus) e até 6×6 por escalonamento, com frações exatas e passo a passo.

Como usar a calculadora

Digite cada linha da matriz em um campo, separando os números com espaço ou ponto e vírgula (decimais com vírgula, como 1,5). A ordem é definida pelo número de linhas preenchidas: duas linhas formam uma matriz 2×2, três linhas uma 3×3, e assim por diante até 6×6. Cada linha precisa ter a mesma quantidade de números que o total de linhas, porque o determinante só existe para matrizes quadradas.

Determinante de matriz 2×2

det = a₁₁ · a₂₂ − a₁₂ · a₂₁

É o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária. Exemplo: para a matriz de linhas (3, 1) e (4, 2), det = 3 · 2 − 1 · 4 = 2.

Determinante de matriz 3×3: regra de Sarrus

Copie as duas primeiras colunas à direita da matriz.
Multiplique os elementos das três diagonais que descem para a direita e some (parte positiva).
Multiplique os elementos das três diagonais que sobem para a direita e some (parte negativa).
O determinante é a parte positiva menos a parte negativa.

Exemplo com as linhas (2, 1, 3), (0, −1, 4) e (1, 2, 5), que é o exemplo padrão da calculadora:

Diagonais principais: 2·(−1)·5 + 1·4·1 + 3·0·2 = −10 + 4 + 0 = −6
Diagonais secundárias: 3·(−1)·1 + 2·4·2 + 1·0·5 = −3 + 16 + 0 = 13
det = −6 − 13 = −19

Matrizes 4×4 ou maiores

A regra de Sarrus não funciona a partir da ordem 4. Os métodos ensinados no ensino médio são oteorema de Laplace (escolhe uma fila, de preferência com muitos zeros, e soma cada elemento vezes o seu cofator) e a regra de Chió. A calculadora usa o escalonamento, que é mais rápido para matrizes grandes e dá o mesmo resultado:

somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante;
trocar duas linhas de lugar inverte o sinal;
com a matriz triangular (só zeros abaixo da diagonal), o determinante é o produto da diagonal.

Exemplo: a matriz de linhas (2, 0, 1, 3), (1, 1, 0, 2), (0, 3, 1, 1) e (1, 0, 2, 1) vira uma triangular com diagonal 2, 1, 5/2 e −1/5. O determinante é 2 · 1 · 5/2 · (−1/5) = −1.

Propriedades úteis

Se uma linha ou coluna for toda zero, ou se duas forem iguais ou proporcionais, o determinante é 0.
O determinante da transposta é igual ao da matriz original.
Multiplicar uma linha por k multiplica o determinante por k; multiplicar a matriz inteira de ordem n por k multiplica o determinante por kⁿ.
Teorema de Binet: det(A · B) = det(A) · det(B).
A matriz tem inversa se, e somente se, det ≠ 0. Nesse caso, det(A⁻¹) = 1 ÷ det(A).

O determinante é a base da regra de Cramer para resolver sistemas lineares: veja acalculadora de sistema de equações.