Como multiplicar números complexos?

Aplique a distributiva e troque i² por −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Exemplo: (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i.

Como dividir números complexos?

Multiplique numerador e denominador pelo conjugado do denominador. (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) = (3 + 4i)(1 + 2i) ÷ (1 + 4) = (−5 + 10i) ÷ 5 = −1 + 2i.

Como calcular o módulo de um número complexo?

O módulo de z = a + bi é |z| = √(a² + b²), a distância do ponto (a, b) até a origem no plano de Argand-Gauss. Para 3 + 4i, |z| = √(9 + 16) = 5.

Quanto vale i elevado a um número grande?

As potências de i se repetem a cada 4: i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i. Divida o expoente por 4 e use o resto. Como 2026 ÷ 4 deixa resto 2, i²⁰²⁶ = i² = −1.

O que é a forma trigonométrica?

É escrever z como |z| · (cos θ + i · sen θ), em que θ é o argumento, o ângulo do vetor com o eixo real. Ela facilita potências e raízes pelas fórmulas de De Moivre.

Calculadora de Números Complexos

Some, subtraia, multiplique e divida números complexos, calcule módulo, argumento, forma trigonométrica, potências e raízes com passo a passo.

O que são números complexos

Um número complexo é escrito na forma algébrica z = a + bi, em que a é a parte real, b é a parte imaginária e i é a unidade imaginária, definida por i² = −1. Eles surgem, por exemplo, ao resolver uma equação do 2º grau com Δ negativo: x² + 4 = 0 tem as soluções 2i e −2i. Todo número real também é complexo (com b = 0).

As quatro operações

Operação	Regra	Exemplo com z₁ = 3 + 4i e z₂ = 1 − 2i
Soma	(a + c) + (b + d)i	4 + 2i
Subtração	(a − c) + (b − d)i	2 + 6i
Multiplicação	(ac − bd) + (ad + bc)i	11 − 2i
Divisão	multiplica em cima e embaixo pelo conjugado de z₂	−1 + 2i

Exemplo de divisão passo a passo

O conjugado de 1 − 2i é 1 + 2i (troca o sinal da parte imaginária). Então:

(3 + 4i) ÷ (1 − 2i) = (3 + 4i)(1 + 2i) ÷ [(1 − 2i)(1 + 2i)] = (−5 + 10i) ÷ 5 = −1 + 2i

O denominador sempre vira um número real, igual a c² + d².

Potências de i

As potências de i formam um ciclo de 4: i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, e depois tudo se repete. Para calcular iⁿ, divida n por 4 e use o resto. Exemplo: 2026 ÷ 4 = 506 com resto 2, então i²⁰²⁶ = i² = −1.

Módulo, argumento e forma trigonométrica

No plano de Argand-Gauss, z = a + bi é o ponto (a, b). O módulo é a distância desse ponto até a origem e o argumento θ é o ângulo que o segmento faz com o eixo real, medido no sentido anti-horário (0° ≤ θ < 360°).

|z| = ρ = √(a² + b²) cos θ = a ÷ ρ sen θ = b ÷ ρ

z = ρ · (cos θ + i · sen θ)

Exemplo: para z = 1 + i, ρ = √2 e θ = 45°, então z = √2 · (cos 45° + i · sen 45°). Para 3 + 4i, ρ = 5 e θ ≈ 53,13°.

Fórmulas de De Moivre

Potência: eleva o módulo e multiplica o argumento.

zⁿ = ρⁿ · (cos nθ + i · sen nθ)

Exemplo: (1 + i)⁸ = (√2)⁸ · (cos 360° + i · sen 360°) = 16.

Raízes: um número complexo não nulo tem exatamente n raízes de índice n, todas com o mesmo módulo e igualmente espaçadas em uma circunferência.

w_k = ⁿ√ρ · [cos((θ + 360°·k) ÷ n) + i · sen((θ + 360°·k) ÷ n)], k = 0, 1, …, n − 1

Exemplo: as raízes quadradas de 3 + 4i são 2 + i e −2 − i; confira: (2 + i)² = 4 + 4i + i² = 3 + 4i.

Nas quatro operações e nas potências inteiras a calculadora trabalha com frações exatas. Ângulos, formas trigonométricas e raízes são mostrados em decimal, com até 6 casas.

Equações do 2º grau com Δ < 0 têm raízes complexas: veja a calculadora de Bhaskara.