Seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo
Em um triângulo retângulo, cada ângulo agudo θ relaciona os lados de um jeito fixo. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto; o cateto oposto fica de frente para θ; o cateto adjacenteencosta em θ.
sen θ = cateto oposto ÷ hipotenusa
cos θ = cateto adjacente ÷ hipotenusa
tan θ = cateto oposto ÷ cateto adjacente = sen θ ÷ cos θ
As outras três funções são as recíprocas: cotg θ = 1 ÷ tan θ, sec θ = 1 ÷ cos θ ecossec θ = 1 ÷ sen θ. E vale sempre a relação fundamental sen² θ + cos² θ = 1.
Tabela dos ângulos notáveis
| Ângulo | Radianos | sen | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | não existe |
Um jeito de decorar: o seno de 30°, 45° e 60° é √1/2, √2/2 e √3/2 (e √1 = 1). O cosseno é a mesma sequência ao contrário.
Ângulos maiores que 90°: o ciclo trigonométrico
No ciclo trigonométrico (círculo de raio 1), o cosseno é a coordenada horizontal do ponto e o seno, a vertical. Assim as funções passam a valer para qualquer ângulo, inclusive negativos e maiores que 360°. Para calcular, a calculadora:
- reduz o ângulo à primeira volta (por exemplo, 405° vira 45° e −30° vira 330°);
- identifica o quadrante e o ângulo de referência, entre 0° e 90°;
- aplica o sinal do quadrante: no 1º tudo é positivo, no 2º só o seno, no 3º só a tangente, no 4º só o cosseno.
Exemplo: 150° está no 2º quadrante e tem referência 30°. Então sen 150° = 1/2, cos 150° = −√3/2 ≈ −0,866025 e tan 150° = −√3/3 ≈ −0,57735.
Graus e radianos
radianos = graus × π ÷ 180 · graus = radianos × 180 ÷ π
Uma volta completa tem 360°, ou 2π rad. No campo do ângulo você pode escrever múltiplos de π diretamente, comoπ/6 ou 2pi/3, e a calculadora reconhece os valores exatos. Um radiano equivale a cerca de 57,2958°, e sen(1 rad) ≈ 0,841471.
Funções inversas: achar o ângulo
O arco seno, o arco cosseno e o arco tangente fazem o caminho contrário: recebem o valor e devolvem o ângulo. Se sen θ = 0,5, então θ = arco seno de 0,5 = 30°. Como o seno se repete em 180° − θ, outro ângulo da primeira volta com o mesmo seno é 150°. O arco seno e o arco cosseno só aceitam valores entre −1 e 1.
Exemplo prático: altura de uma árvore
Você está a 12 m de uma árvore e vê o topo sob um ângulo de 35° em relação ao chão. A altura (acima dos seus olhos) é o cateto oposto: 12 × tan 35° ≈ 12 × 0,700208 ≈ 8,40 m. Para resolver triângulos inteiros, com lados e ângulos, use a calculadora de triângulo.
Para combinar funções em uma expressão (como 2 × sen(30) + cos(60)), use acalculadora científica. Para lados de triângulos retângulos, acalculadora de Pitágoras.