Qual a fórmula da probabilidade condicional?

P(A | B) = P(A e B) ÷ P(B), com P(B) > 0. Lê-se "probabilidade de A dado B": a chance de A sabendo que B já aconteceu.

P(A | B) é igual a P(B | A)?

Em geral, não. Com P(A) = 30%, P(B) = 40% e P(A e B) = 18%, temos P(A | B) = 45% e P(B | A) = 60%. Confundir as duas é um erro comum.

Quando usar o teorema de Bayes?

Quando você conhece P(B | A) e quer o inverso, P(A | B). Exemplo clássico: com 1% de prevalência, teste com 95% de sensibilidade e 5% de falso-positivo, um positivo indica a doença em só cerca de 16%.

Como saber se dois eventos são independentes?

São independentes quando P(A | B) = P(A), o que equivale a P(A e B) = P(A) × P(B). Nesse caso, saber que B ocorreu não muda a chance de A.

Calculadora de Probabilidade Condicional

Calcule P(A | B) pela fórmula P(A e B) ÷ P(B), pelo teorema de Bayes ou por uma tabela de contagens, com passo a passo e teste de independência.

O que é probabilidade condicional

A probabilidade condicional mede a chance de um evento A quando já se sabe que outro evento,B, aconteceu. A notação é P(A | B), lida como "probabilidade de A dado B". A ideia é simples: a informação nova encolhe o universo de casos possíveis. Em vez de olhar para todos os resultados, você olha só para aqueles em que B ocorreu e pergunta em quantos deles A também ocorreu.

P(A | B) = P(A e B) ÷ P(B), com P(B) > 0

O mesmo raciocínio dá a regra do produto, muito usada em sorteios sem reposição: P(A e B) = P(B) × P(A | B).

Exemplo 1: pela probabilidade conjunta

Numa empresa, 30% dos funcionários falam inglês (A), 40% têm pós-graduação (B) e 18% têm as duas coisas. Sorteando alguém com pós-graduação, qual a chance de falar inglês?

P(A | B) = 0,18 ÷ 0,40 = 45%
No sentido contrário, P(B | A) = 0,18 ÷ 0,30 = 60%

Como 45% é diferente dos 30% gerais, os eventos não são independentes: ter pós aumenta a chance de falar inglês nesse grupo.

Exemplo 2: teorema de Bayes e o exame positivo

Quando a informação disponível está "ao contrário" (você sabe P(B | A), mas quer P(A | B)), entra o teorema de Bayes. O denominador P(B) é obtido pela lei da probabilidade total:

P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ [P(B | A) × P(A) + P(B | não A) × P(não A)]

Suponha uma doença que atinge 1% da população e um exame que dá positivo em 95% dos doentes, mas também em 5% das pessoas saudáveis. Alguém testou positivo: qual a chance de estar doente?

P(positivo e doente) = 0,95 × 0,01 = 0,0095
P(positivo e saudável) = 0,05 × 0,99 = 0,0495
P(positivo) = 0,0095 + 0,0495 = 0,059
P(doente | positivo) = 0,0095 ÷ 0,059 ≈ 16,1%

O número surpreende muita gente: como a doença é rara, a maioria dos positivos vem dos 99% saudáveis. Pensando em 10.000 pessoas, são 95 doentes com positivo contra 495 saudáveis com positivo. É por isso que exames de triagem costumam ser confirmados por um segundo teste.

O exemplo é didático. Prevalência, sensibilidade e especificidade de um exame real variam com o laboratório e o paciente; a interpretação de resultados é sempre do médico.

Exemplo 3: tabela de contingência

Com dados contados (pesquisa, planilha de vendas), monte uma tabela 2 × 2. Em 200 clientes de uma loja, A = comprou e B = viu o anúncio:

	Viu o anúncio (B)	Não viu	Total
Comprou (A)	30	20	50
Não comprou	70	80	150
Total	100	100	200

P(comprou | viu) = 30 ÷ 100 = 30%; P(comprou | não viu) = 20 ÷ 100 = 20%. Basta dividir pela soma da coluna (ou da linha) da condição. Atenção: a tabela mostra associação, não prova que o anúncio causou as compras.

Outras contas de probabilidade

Para a chance de um evento simples, de "A e B" ou "A ou B" e de tentativas repetidas, use acalculadora de probabilidade. Para contar casos possíveis com combinações e arranjos, veja a calculadora de análise combinatória.