Calculadora de PG (Progressão Geométrica)

Calcule termo geral, soma finita e infinita, razão, primeiro termo e número de termos de uma PG, ou verifique uma sequência. Com passo a passo.

O que é uma progressão geométrica

Progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anteriormultiplicado por uma constante, a razão (q). Em (3, 6, 12, 24, ...) a razão é 2; em (81, 27, 9, 3, ...) a razão é 1/3. Enquanto a PA cresce somando, a PG cresce (ou encolhe) multiplicando, e por isso descreve juros compostos, crescimento de bactérias, depreciação e a famosa lenda do tabuleiro de xadrez.

Fórmulas da PG

Termo geral: aₙ = a₁ · q^{n − 1}

Soma dos n primeiros termos: Sₙ = a₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1), com q ≠ 1

Soma infinita: S∞ = a₁ / (1 − q), só para −1 < q < 1

Razão: q = aₙ / aₙ₋₁

Exemplo resolvido

Na PG (3, 6, 12, 24, ...), qual é o 8º termo e quanto vale a soma dos 8 primeiros termos?

a₁ = 3 e q = 6 ÷ 3 = 2
a₈ = 3 · 2⁷ = 3 · 128 = 384
S₈ = 3 · (2⁸ − 1) / (2 − 1) = 3 · 255 = 765

Soma infinita e dízimas periódicas

Na PG (8, 4, 2, 1, 0,5, ...) os termos ficam cada vez menores, e a soma se aproxima de um limite: S∞ = 8 / (1 − 0,5) = 16. É assim que se acha a fração geratriz de uma dízima: 0,333... = 0,3 + 0,03 + 0,003 + ..., uma PG com a₁ = 0,3 e q = 0,1, logo S∞ = 0,3 / 0,9 = 1/3.

Classificação da PG

Situação	Tipo	Exemplo
a₁ > 0 e q > 1, ou a₁ < 0 e 0 < q < 1	Crescente	(2, 6, 18, ...)
a₁ > 0 e 0 < q < 1, ou a₁ < 0 e q > 1	Decrescente	(16, 8, 4, ...)
q = 1	Constante	(5, 5, 5, ...)
q < 0	Alternante (oscilante)	(2, −6, 18, −54, ...)

PG e juros compostos

Um capital de R$ 1.000 aplicado a 1% ao mês vira 1.010, 1.020,10, 1.030,30... Cada saldo é o anterior vezes 1,01: uma PG de razão q = 1 + i. A fórmula M = C · (1 + i)ⁿ é o termo geral dessa PG. Para simular aplicações com aportes, use a calculadora de juros compostos; para o caso de crescimento por soma constante, veja a calculadora de PA.

Termos de PG crescem muito rápido. Valores acima de 10¹⁵ aparecem em notação científica (ex.: 1 × 10^19) e podem ter arredondamento nas últimas casas, limite comum a calculadoras que usam ponto flutuante.

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula do termo geral da PG?

aₙ = a₁ · q^(n − 1), em que a₁ é o primeiro termo, q é a razão e n é a posição. Na PG (3, 6, 12, ...), o 8º termo é 3 · 2⁷ = 384.

Como calcular a soma dos termos de uma PG?

Para n termos, Sₙ = a₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1), com q ≠ 1. Se q = 1, todos os termos são iguais e Sₙ = n · a₁.

Quando existe a soma infinita da PG?

Só quando −1 < q < 1, porque os termos vão diminuindo até quase zero. Nesse caso S∞ = a₁ / (1 − q). Em (8, 4, 2, 1, ...), S∞ = 8 / 0,5 = 16.

Como descobrir a razão de uma PG?

Divida qualquer termo pelo anterior: q = a₂ ÷ a₁. Se só souber a₁ e aₙ, resolva q^(n − 1) = aₙ / a₁; quando n − 1 é par, há duas respostas, q e −q.

Qual a relação entre PG e juros compostos?

Com juros compostos o saldo é multiplicado por (1 + i) a cada período, então os saldos formam uma PG de razão 1 + i. Por isso M = C · (1 + i)ⁿ é um termo geral de PG.

Atualizado em 05/10/2026.